1. Дана функция .а). Обследуйте функцию на монотонность и экстремумы.б). Найдите

1.Дана функция: y = (8x + 1)^5/4 - 30x. Область определения функции определим из неравенства: 8x + 1 0; x -1/8; Dy = [-1/8; ].

а). Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем производную функции первого порядка: y = ((8x + 1)^5/4 - 30x) = 10(8x + 1)^1/4 - 30.

Найдем критичные точки, решив уравнение y = 0. 10(8x + 1)^1/4 30 = 0, (8x + 1)^1/4 = 3, 8x + 1 = 3⁴, x = 10. Эта точка разделяет область определения функции на два промежутка: [-1/8; 10] и [ 10; ].

На промежутке [-1/8; 10] производная функции отрицательна (y(9)lt; 0), функция убывает.

На интервале [ 10; ] производная функции положительна (y(11)gt; 0), функция подрастает.
б). На отрезке [0;10] функция однообразно убывает, потому при x = 0  функция принимает максимальное значение y = (8 * 0 + 1)^5/4 30 * 0 = 1, и меньшее значение при  x = 10, функция y = (8 * 10 + 1)^5/4 30 * 10 = -57.

2.Составим уравнение касательной к графику функции y = 3x^1/3 - 5, если тангенс угла между касательной и положительным направлением оси абсцисс равен 0,25.

Знаменита уравнение касательной в точке x₀: f(x) = f(x₀) + f(x)(x - x₀). Найдем производную функции: f(x) = (3x^1/3 5) = 1/x₀^2/3;

По условию: x = x₀; tga = k = f(x₀) ; 1/x₀^2/3;= 0,25; x₀^2/3 = 4; x₀= 8. f(x₀) = 3 * 8^1/3 5 = 1.

f(x) = f(x₀) + f(x)(x - x₀) = 1 + 0,25(x - 8).

Ответ: Уравнение касательной будет y = 0,25x 1.