В трапецию вписан круг радиуса r. Найдите площадь трапеции, если углы

Осмотрим трапецию ABCD.

Если вписанная в трапецию окружность имеет центр O и точки ее касания сс гранями трапеции K, L, M, N, то имеем:

OK = OL = OM = ON = r, где r - радиус окружности. Также имеем, что KN = 2 * r.

Проведем перпендикуляры из вершин B и C на сторону AD: BE и CF.

Так как окружность вписанна в трапецию, можно увидеть, что:

AL = AK, BL = BN, CN = CM, DM = DK.

Тогда:

AD + BC = AK + DK + BN + CN = AL + DM + BL + CM = AB + CD.

Треугольники ABE и DCF прямоугольные. Потому:

AB * sin() = ВЕ = СА = CD * sin() = 2 * r.

Тогда площадь трапеции:

S = (AD + BC) * BE / 2 = (AB + CD) * 2 * r  / 2 = (AB + CD) * r =

=2 * r  * (1 / sin() + 1 / sin()) * r =  2 * r^2 * (sin() + sin()) /( sin() * sin())

https://bit.ly/2Mm30I4