Решить:1) Log 2x+Log2(x+6)=4 2)Log6(5-x)+Log6(-x)=2 3)Log 81x+Log3x=2,5

1) log₂x + log₂(x + 6) = 4.

Разберем ОДЗ (область возможных значений): х + 6 gt; 0; x gt; -6.

По правилу сложения логарифмов: log₂(х(x + 6)) = 4.

Представим число 4 как логарифм по основанию 2:

log₂(х(x + 6)) = log₂16.

Отсюда х(x + 6) = 16.

х + 6x - 16 = 0.

По теореме Виета корешки одинаковы -8 и 2. Корень -8 не подходит по ОДЗ.

Ответ: корень уравнения равен 2.

2) log₆(5 - x) + log₆(-x) = 2.

ОДЗ: 5 - х gt; 0; x lt; 5. И -х gt; 0; х lt; 0.

По правилу сложения логарифмов: log₆(-х(5 - x)) = 2.

Представим число 2 как логарифм по основанию 6:

log₆(-х(5 - x)) = log₆36.

Отсюда -х(5 - x) = 36.

х - 5х - 36 = 0.

По аксиоме Виета корешки одинаковы 9 и -4. Корень х = 9 не подходит по ОДЗ.

Ответ: корень уравнения равен -4.

3) log₈₁x + log₃x = 2,5.

ОДХ: х gt; 0.

Приведем логарифмы к схожему основанию:

log_3⁴x + log₃x = 2,5.

1/4log₃x + log₃x = 2,5.

Вынесем log₃x за скобку:

log₃x(1/4 + 1) = 2,5.

log₃x * 5/4 = 2,5.

log₃x = 5/2 : 5/4.

log₃x = 5/2 * 4/5.

log₃x = 2.

log₃x = log₃9.

Отсюда х = 9 (удовлетворяет ОДЗ).

Ответ: корень уравнения равен 9.