(tgx+ctgx)*(1-cos4x)=4sin2x

Для доказательства тождество (tgx + ctgx) * (1 - cos4x) = 4sin2x приведем левую часть равенства к правой.

Представим tgx и ctgx как отношение синусов и косинусов  и преобразуем разность:

(1 - cos4x) = cos²(2x) + sin²(2x) - (cos²(2x) - sin²(2x));

левая часть сейчас будет выглядеть последующим образом:

(sinx/cosx + cosx/sinx)( cos²(2x) + sin²(2x) - (cos²(2x) - sin²(2x)));

в первой скобке приведем к общему знаменателю и сложим слагаемые, а во второй скобке раскраем скобки и приведем сходственные члены:

1/(cos(x) * sin(x)) * 2sin²(2x) = 2/sin(2x) * 2 * sin²(2x) = 4 sin²(2x) /sin(2x) = 4sin(2x).

Левая часть оказалась равной правой, тождество подтверждено.