Обоснуйте что для хоть какого естественного значения n правосудно утверждение (n3 +3n2+8n)

Осмотрим данное выражение:

А = n^3 +3 * n^2 + 8 * n = n * (n^2 + 3 * n + 8).

Если число n делится на 3, то ,явно, и А делится на 3.

Исследуем 2 оставшихся вероятных варианта:

1)n при дробленьи на 3 дает в остатке 1,

2) n при разделеньи на 3 дает в остатке 2.

1) Если n при дроблении на 3 дает в остатке 1, то его можно представить: n = 3 * k + 1.

Тогда

n^2 + 3 * n + 8 = (3 * k + 1)^2 + 3 * (3 * k + 1) + 8 =

= 9 * k^2 + 6 * k + 1 + 9 * k + 3 + 8 =

= 3 * (3 * k^2 + 5 * k + 3). Как следует, делится на 3.

2) Если n при разделении на 3 дает в остатке 2, то его можно представить: n = 3 * k + 2.

Тогда

n^2 + 3 * n + 8 = (3 * k + 2)^2 + 3 * (3 * k + 2) + 8 =

= 9 * k^2 + 12 * k + 4 + 9 * k + 6 + 8 =

= 3 * (3 * k^2 + 7 * k + 6). Как следует, делится на 3, что и требовалось обосновать.