507(tg49\4+ctg41\4)+100(cos107\3-sin109\6)

1. Упростим (по возможности, вычислим) значение тригонометрического выражения 507 * (tg(49 * /4) + ctg(41 * /4)) + 100 * (cos(107 * /3) sin(109 * /6)), которого обозначим через Т.
2. Воспользуемся периодичностью тригонометрических функций. Как знаменито, наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2 * , а тангенса и котангенса, он равняется . Явно, что 49 * /4 = 12 * + /4, 41 * /4 = 10 * + /4, 107 * /3 = 34 * + 5 * /3 и 109 * /6 = 18 * + /6. Беря во внимание эти равенства, имеем: Т = 507 * (tg(12 * + /4) + ctg(10 * + /4)) + 100 * (cos(34 * + 5 * /3) sin(18 * + /6)) = 507 * (tg(/4) + ctg(/4)) + 100 * (cos(5 * /3) sin(/6)).
3. Учитывая, формулу приведения cos(2 * ) = cos и 5 * /3 = 2 * /3, получим: cos(5 * /3) = cos(2 * /3) = cos(/3). Сообразно таблице главных значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, имеем: tg(/4) = ctg(/4) = 1, sin(/6) = cos(/3) = .
4. Подставляя эти значения на свои места в Т, получим: Т = 507 * (1 + 1) + 100 * ( ) = 507 * 2 + 100 * 0 = 1014.

Ответ: 1014.