Сумма первых 13 членов арифметической прогрессии одинакова 130. Знаменито, что четвёртый,

1. Пусть последовательность а_n, где n = 1, 2, , 13, та арифметическая прогрессия, о которой идёт речь в задании. Тогда, сообразно условия задания: S₁₃ = 130. Используя формулу S_n = (2 * a₁ + d * (n 1)) * n / 2, где d шаг арифметической прогрессии, имеем S₁₃ = (2 * a₁ + d * (13 1)) * 13 / 2 = 130 либо a₁ + 6 * d = 10. Сообразно формуле a_n = a₁ + d * (n 1), имеем a₇ = a₁ + d * (7 1) = a₁ + 6 * d = 10.
2. Сообразно иного условия задания, a₄, a₁₀, a₇ представляют собой три последовательных члена геометрической прогрессии. Тогда, характеристическое свойство геометрической прогрессии дозволяет утверждать, что a₄ * a₇ = (a₁₀)². Беря во внимание a₇ = 10, получим: 10 * a₄ = (a₁₀)².
3. Сейчас воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии, которое в общем случае выражается формулой a_m = (a_{m k} + a_{m + k}) / 2, где m k gt; 0 и m + k n. При m = 7 и k = 3, имеем a₇ = (a₄ + a₁₀) / 2. Учитывая a₇ = 10, получим: 10 = (a₄ + a₁₀) / 2 либо a₄ + a₁₀ = 20, откуда a₄ = 20 - a₁₀. Подставим это выражение в заключительное равенства п. 2. Имеем: 10 * (20 - a₁₀) = (a₁₀)² или (a₁₀)² + 10 * a₁₀ 200 = 0.
4. Получили квадратное уравнение условно a₁₀. Оно имеет два разных корня, так как его дискриминант D = 10² 4 * 1 * (200) = 100 + 800 = 900 gt; 0. Вычислим их: (a₁₀)₁ = (10 (900)) / 2 = 20 и (a₁₀)₂ = (10 + (900)) / 2 = 10. Исследуем каждый корень (случай) по отдельности.
5. Случай, когда a₁₀ = 20. Тогда, беря во внимание a₇ = 10, имеем: a₁ + 6 * d = 10 и a₁ + 9 * d = 20. Решая совместно эти уравнения, найдём: d = 10 и a₁ = 70. Обратимся к условиям задания. Отысканное значение a₁ = 70 противоречит условию о том, что 1-ый член арифметической прогрессии меньше 50. Означает, в этом случае имеем дело с побочным корнем.
6. Случай, когда a₁₀ = 10. Тогда, учитывая a₇ = 10, имеем: a₁ + 6 * d = 10 и a₁ + 9 * d = 10. Решая совместно эти уравнения, найдём: d = 0 и a₁ = 10. Поскольку a₁ = 10 lt; 50, то a₁ = 10 является искомым решением задания.

Ответ: 10.