исследование функции y=3/x - 1/x^3

y = 3/x - 1/x³.

1) Область определения и область значений.

х - хоть какое число, кроме 0 (на ноль разделять нельзя). D(f) = (-; 0) и (0; +).

E(f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки скрещения графика с осью х.

у = 0.

3/x - 1/x³ = 0;

3/x = 1/x³;

3x³ = х; 3x³ - х = 0; х(3х - 1) = 0; х = 0 и 3х - 1 = 0; 3х = 1; х = 1/3; х = 3/3.

График функции пересекает ось х в точках -3/3, 0 и 3/3.

Найдем точку скрещения с осью у.

х = 0 (нельзя подставить, на ноль разделять нельзя).

График не пересекает ось у.

3) Определим четность функции.

f(x) = 3/x - 1/x³.

f(- x) = 3/(-x) - 1/(-x)³ = -3/x + 1/x³ = -(3/(-x) - 1/(-x)³).

f(x) одинаково -f(- x), означает функция нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

График функции пересекает ось х в точках -3/3, 0 и 3/3.

(-; -3/3) пусть х = -2; f(-2) = 3/(-2) - 1/(-2)³ = -1,5 + 0,125 = -0,875 (минус).

(-3/3; 0) пусть х = -1/2; f(-1/2) = 3/(-1/2) - 1/(-1/2)³ = -6 + 8 = 2 (плюс).

(0; 3/3) пусть х = 1/2; f(1/2) = 3/(1/2) - 1/(1/2)³ = 6 - 8 = -2 (минус).

(3/3; +) пусть х = 2; f(2) = 3/(2) - 1/(2)³ = 1,5 - 0,125 = 0,875 (плюс).

у gt; 0 на (-3/3; 0) и (3/3; +).

у lt; 0 на (-; -3/3) и (0; 3/3).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f(x) = 3/x - 1/x³ = 3х^(-1) - х^(-3).

f(x) = -3х^(-2) + 3х^(-4) = 3/х⁴ - 3/х.

Приравняем производную к нулю.

f(x) = 0;

3/х⁴ - 3/х = 0; х не равен 0.

3/х⁴ = 3/х; 3х⁴ = 3х; 3х⁴ - 3х = 0; 3х(х - 1) = 0; х = 0 (не подходит), х = 1 и х = -1.

Знаки промежутков: (-) -1 (+) 1 (-), 0 - точка разрыва.

(-; -1) производная (-), функция убывает.

(-1; 0) производная (+), функция вырастает.

(0; 1) производная (+), функция возрастает.

(1; +) производная (-), функция убывает.

Означает, точки -1 - это точка минимума, а 1 - это точка максимума.

Найдем экстремумы функции:

f(x) = 3/x - 1/x³.

х_min = -1; f(-1) = 3/(-1) - 1/(-1)³ = -3 + 1 = -2.

х_max = 1; f(1) = 3/1 - 1/1³ = 3 - 1 = 2.