Решите уравнение 2cos2x+4cos(3П/2-x)+1=0

1. Воспользуемся формулами приведения:

2cos2x + 4 cos (3/2 - x) + 1 = 0;

cos (3/2 - x);

- функция изменяется на противоположную;

- угол (3/2 - x) находится в третьей четверти, косинус отрицательный;

cos (3/2 - x) = - sin;

2cos2x = - cosх - 2;

1. Применим формулу двойного довода тригонометрической функции:

cos2x = 1 - 2 sinx;

2(1 - 2 sinx) + 4 * (- sin) + 1 = 0;

2 - 4 sinx - 4sin + 1 = 0;

 - 4 sinx - 4sin + 3 = 0;

4 sinx + 4sin - 3 = 0;

Выполним подмену sinx = с, с 1:

4с + 4с - 3 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( 4) - 4 * 4 * ( - 3) = 16 + 48 = 64;

D 0, означает:

с1 = ( - b - D) / 2a = ( - 4 - 64) / 2 * 4 = ( - 4 - 8) / 8 = - 12 / 8 = - 1 4/8 = - 1 1/2, не подходит по подмене;

с2 = ( - b + D) / 2a = ( - 4 + 64) / 2 * 4 = ( - 4 + 8) / 8 = 4 / 8 = 1/2;

Тогда, если с2 = 1/2, то:

sinx =1/2;

x = ( - 1) ⁿ arcsin( 1/2) + n, n  Z;

x = ( - 1)ⁿ /6 + n, n  Z;

Ответ: x = ( - 1)ⁿ /6 + n, n  Z.