Sin в 6 степени альфа+cos в 6 ступени альфа,найдите меньшее и

Для того, чтоб отыскать меньшее и величайшее значение функции sin^6(a) + cos^6(a), найдем ее локальный минимум и локальный максимум (из вида функции несложно осознать, что она является периодической, и иных значений в точках экстремума не будет). Необходимым условием экстремума функции в точки является равенство нулю в ней ее производной:

(sin^6(a) + cos^6(a)) = 6 * sin^5(a) * cos(a) - 6 * cos^5(a) * sin(a) = 0.

Здесь мы учли, что sin^6(a) + cos^6(a) - трудная функция (степенная и тригонометрическая).

Сейчас вынесем за скобку общий множитель sin(a) * cos(a): sin(a) * cos(a) * (sin^4(a) - cos^4(a)) = 0.

Отсюда следует, что или sin(a) = 0, или cos(a) = 0, либо sin^4(a) - cos^4(a) = 0.

Для sin(a) = 0 и cos(a) = 0 получим, что а1 = pi * n / 2, где n - любое целое число. 

Теперь решим уравнение sin^4(a) - cos^4(a) = 0. Разложим на множители эту разность квадратов:(sin^2(a) - cos^2(a))(sin^2(a) + cos^2(a)) = 0. 2-ая скобка представляет собой основное тригонометрическое тождество и одинаково 1, а 1-ая - разложенный косинус двойного угла со знаком минус: -cos(2a) = 0. Означает а2 = pi /4 + pi * n / 2, где n - хоть какое целое число. 

Подставим получившиеся корешки: sin^6(0) + cos^6(0) = 1. 

sin^6(pi / 4) + cos^6(pi / 4) = 1 / 4 + 1 / 4 = 1 / 2.

sin^6(pi / 2) + cos^6(pi / 2) = 1. 

sin^6(3 * pi / 4) + cos^6(3 * pi / 4) = 1 / 4 + 1 / 4 = 1 / 2.

Далее лицезреем, что значения повторяют, что подтверждает наше предположение.

Окончательно, минимум функции: 1 / 2. Максимум функции: 1.