Обоснуйте, что при любом n принадлежит N число 7^2n+1 + 2^4n+2

Обозначим данное выражение:

А(n) = 7^(2 * n + 1) + 2^(4 * n + 2).

При n = 1 имеем:

A(1) = 7^3 + 2^6 = 343 + 64 = 407 = 11 * 37.

Как следует, А(1) делится на 11.

Подтверждение проведем по индукции.

Предположим, что утверждение правильно при любом n lt;= k.

Осмотрим A(k + 1):

A(k + 1) = 7^(2 * (k + 1) + 1) + 2^(4 * (k + 1) + 2) =

= 7^2 * 7^(2 * k + 1) + 2^4 * 2^(4 * k + 2) =

= 49 * 7^(2 * k + 1) + 16 * 2^(4 * k + 2) =

= (33 + 16) * 7^(2 * k + 1) + 16 * 2^(4 * k + 2) = 

= 33 * 7^(2 * k + 1) + 16 * (7^(2 * k + 1) + 2^(4 * k + 2)) =

= 11 * 3 * 7^(2 * k + 1) + 16 * A(k).

Так как A(k) делится на 11, то оба слагаемых выражения делятся на 11, а означает,

и A(k + 1) делится на 11, что и требовалось доказать.