1) Упростить выражение cos( - ) ctg( + /2)

1. Данное тригонометрическое выражение обозначим через Т = (cos( ) * ctg( + /2) * sin(4 * )) / (sin(7 * + ) * ctg(3 * /2 )) и представим что рассматриваются те углы , для которых оно имеет смысл. Используя чётность функции у = cosх (то есть, для всех х (; +) справедливо cos(х) = cosх), имеем cos( ) = cos( ). Дальше используя формулу приведения cos( ) = cos, для первого множителя числителя выражения Т, получим: cos. 2-ой множитель числителя Т можно упростить, если применить к нему формулу приведения ctg(/2 + ) = tg. Имеем ctg( + /2) = ctg(/2 + ) = tg.  Воспользовавшись периодичностью функции у = sinх, для третьего множителя числителя Т получим: sin(4 * ) = sin(2 * + 2 * ) = sin(2 * ). Формула приведения sin(2 * ) = sin дозволяет переписать упомянутый множитель: sin. Подобно, для множителей знаменателя, имеем sin(7 * + ) = sin(3 * 2 * + + ) = sin( + ) = sin и ctg(3 * /2 ) = tg . Итак, Т = [cos * (tg) * (sin)] / (sin * tg ). Теперь сообразно догадки (см. п. 1), сократим заключительнее выражение на sin * tg . Тогда Т = cos.
2. Светло, что если (0; /2), то ( / 2) (0; /2). Как следует, в I координатной четверти sin( / 2) gt; 0. Используя формулу sin² + cos² = 1 (основное тригонометрическое тождество), имеем sin( / 2) = (1 cos²( / 2)) = (1 (4/5)²) = 3/5. Сейчас используя формулу cos(2 * ) = cos² sin² (косинус двойного угла), обретаем cos = cos²( / 2) sin²( / 2) = (4/5)² (3/5)² = 16/25 9/25 = 7/25.

Ответ: 1) Если данное выражение имеет смысл, то cos( ) * ctg( + /2) * sin(4 * ) = cos; 2) cos = 7/25.