Сколько трехзначных положительных чисел, делящихся на 3, при делении на 5

Числа, делящиеся на 3, в сумме собственных цифр тоже делятся на 3. Числа, делящиеся на 5, оканчиваются на 0 либо 5. Означает, если число дает остаток, одинаковый 1, оканчивается он на 1 или на 6.

При этом все трехзначные числа, делящиеся на 3 составляют арифметическую прогрессию, в которой каждый следующий член равен:

a_n+1 = a_n + d, где d = 3.

Все трехзначные числа, делящиеся на 5 с остатком 1 сочиняют арифметическую прогрессию, в которой каждый последующий член равен:

a_n+1 = a_n + d, где d  = 5.

Полностью ожидаемо, что числа, удовлетворяющие условию делимости на 3 и при этом делящиеся на 5 с остатком 1 также являются арифметической прогрессией, при этом шаг этой прогрессии составит произведение шагов первой и 2-ой прогрессий, то есть:

d = 3 * 5 = 15.

Проверим. 1-ое трехзначное число, делящееся на 3 и заканчивающееся на 1, одинаково: 111.

1-ое трехзначное число, делящееся на 3 и заканчивающееся на 6, одинаково: 126.

Разница между этими числами составит:

126 111 = 15.

Значит наши рассуждения верны и мы имеем дело с арифметической прогрессией, шаг которой равен 15, а первый член равен: 111.

a_n+1 = a_n + d, где d = 15, а₁ = 111.

Заключительное вероятное число, удовлетворяющее условию: 996

9 + 9 + 6 = 24, то есть делится на 3 и при этом заканчивается на 6.

Найдем число n вероятных членов:

n = (а_n - а₁ + d) / d;

n = (996 - 111 + 15) / 15 = 60.

Ответ: чисел, удовлетворяющих условию всего 60.