Log4(25-x^2)amp;lt;= 2+log4(x+4)

1) Разберем ОДЗ.

25 - x gt; 0; умножим на (-1), символ перевернется.

25 - x lt; 0.

(x - 5)(x + 5) gt; 0.

Корешки неравенства 5 и -5, знаки интервалов: (+) -5 (-) 5 (+).

Решение: х принадлежит (-5; 5).

х + 4 gt; 0; x gt; -4.

Общее решение ОДЗ: х принадлежит (-4; 5).

2) log₄(25 - x)  2 + log₄(x + 4).

Представим 2 в виде логарифма с основанием 4:

log₄(25 - x)  log₄16 + log₄(x + 4).

По правилу сложения логарифмов:

log₄(25 - x)  log₄(16(x + 4)).

Основание логарифма больше 1, символ не изменится:

25 - x 16(x + 4).

25 - x 16x + 64.

25 - x - 16x - 64 0.

-x - 16x - 39 0.

Умножим на (-1), символ перевернется:

x + 16x + 39  0.

Найдем точки пересечения параболы у = x + 16x + 39 (ветки ввысь) с осью х:

у = 0; x + 16x + 39 = 0.

D = 256 - 156 = 100 (D = 10);

х₁ = (-16 - 10)/2 = -13.

х₂ = (-16 + 10)/2 = -3.

Знак неравенства  0, решением будут промежутки, где ветки параболы находятся над осью х, то есть х принадлежит интервалам (-; -13] и [-3; +).

3) Объединяем решение неравенства и решение ОДЗ: (-4; 5) и (-; -13] и [-3; +).

Ответ: х принадлежит промежутку [-3; 5).