Известно, что А и Б такие положительные действительные числа, для которых

   1. Дано:

• a gt; 0;
• b gt; 0;
• a + b = a^2 + b^2. (1)

   Доказать, что:

      a^4 + b^4 a^3 + b^3. (2)

   2. Исследуем уравнение (1):

• a^2 - a + b^2 - b = 0;
• a(a - 1) + b(b - 1) = 0. (3)

   Из уравнения (3) следует, что одно из слагаемых не больше нуля, другое - не меньше нуля. Без утраты общности, предположим:

      a(a - 1) 0;
      b(b - 1) 0.

   Так как a gt; 0, b gt; 0, то:

• a - 1 0;
  b - 1 0;
• a 1;
  b 1.

   3. Для разности выражений получим:

• A = (a^4 + b^4) - (a^3 + b^3);
• A = a^3(a - 1) + b^3(b - 1);
• A = a^2 * a(a - 1) - b^2 * a(a - 1);
• A = a(a - 1)(a^2 - b^2);
• A = a(a - 1)(a + b)(a - b). (4)

   Все множители неотрицательны, как следует:

• A 0;
• (a^4 + b^4) - (a^3 + b^3) 0;
• a^4 + b^4 a^3 + b^3.

   Что и требовалось.