Система уравнений: x^6+y^6=65 x^4-x^2y^2+y^4=13 поделил 1-ое на 2-ое и получил: x^2+y^2=5

1. Задана система двух уравнений:

X^6 + Y^6 = 65;

X^4 - X^2 * Y^2 + Y^4 = 13;

2. разделим первое уравнение на второе:

(X^6 + Y^6) / (X^4 - X^2 * Y^2 + Y^4) =

((X^2)^3 + (Y^2)^3) / ((X^2)^2 - X^2 * Y^2 + (Y^2)^2) =

X^2 + Y^2 = 5;

3. Разложим число 5 на сумму двух квадратов:

5 = 1 + 4 = 2 + 3;

Подходит 1-ая композиция: 5 = 1 + 4 = 1^2 + 2^2;

Таким образом: X^2 + Y^2 = (+-1)^2 + (+-2)^2;

X = +-1;

Y = +-2;

4. Можно подставить во 2-ое уравнение: Y^2 = 5 - X^2:

(X^2)^2 - X^2 * (5 - X^2) + (5 - X^2)^2 = 13;

X^4 - 5 * X^2 + X^4 + 25 - 10 * X^2 + X^4 = 13;

3 * X^4 - 15 * X^2 + 12 = 0;

5. Подмена переменной: Z = X^2;

3 * Z^2 - 15 * Z + 12 = 0;

Z^2 - 5 * Z + 4 = 0;

Z1,2 = 2,5 +- sqrt(2,5^2 - 4) = 2,5 +- 1,5;

Z1 = X^2 = 2,5 - 1,5 = 1;

X1,2 = +- 1;

Y^2 = 5 - X^2 = 5 - 1 = 4;

Y1,2 = +-2;

Z2 = 2,5 + 1,5 = 4;

X^2 = 4;

X3,4 = +-2;

Y3,4 = +-1.

Ответ: 1) X = -1, Y = -2; 2) X = -1, Y = 2;

3) X = 1, Y = -2; 4) X = 1, Y = 2;

5) X = -2, Y = -1, 6) X = -2, Y = 1;

7) X = 2, Y = -1; 8) X = 2, Y = 1.