В треугольнике АВС биссектриса АК делит медиану ВD в отношении 4:1,

Осмотрим треугольник ABD.

AK является биссектрисой угла ABD. Пусть она пересекает медиану ВD в точке О.

Как следует, по свойству биссектрисы имеем:

AB / AD = BO / DO = 4/1,

AB = 4 * AD.

Так как BD - медиана треугольника ABC, то D - середина стороны AC.

Потому имеем:

AC = 2 * AD.

Следовательно,

AB = 4 * AD = 2 * 2 * AD = 2 * AC.

Запишем площади S1, S2 треугольников ABK и ACK:

S1 = 1/2 * AB * BK * sin(BAK),

S2 = 1/2 * AC * BK * sin(CAK).

Так как AK - биссектриса угла А, то BAK = CAK. Тогда:

S1 / S2 = (1/2 * AB * BK * sin(BAK)) / (1/2 * AC * BK * sin(CAK)) =

= AB / AC = 2.

Ответ: 2.