Докажите неравенство 2а/1+а^2amp;lt;=1

Заметим, что

(a - 1)^2 gt;= 0, для хоть какого значения a.

Проведём преображения Лёвой доли неравенства:

a^2 + 1 - 2 * a gt;= 0,

1 + a^2 gt;= 2 * a.

Так как 1 + a^2 gt;= 1 при любом значении a, то значение 1 + a^2 позитивно при любом значении a.

Следовательно, мы можем поделить обе части заключительного неравенства на 1 + a^2:

(1 + a^2) / (1 + a^2) gt;= 2 * a / (1 + a^2),

2 * a / (1 + a^2) lt;= 1, что и требовалось обосновать.