Задачка: найдите все решения уравнения: x^2+5y^2+4xy+2y+1=0

Проведем преобразования левой части уравнения:

x^2 + 5 * y^2 + 4 *x * y + 2 * y + 1 = 

= x^2 + (4 * y^2 + y^2) + 4 *x * y + 2 * y + 1 = 

= x^2 + + 4 *x * y + 4 * y^2 + y^2 + 2 * y + 1 =

= (x + 2 * y)^2 + (y + 1)^2.

Как следует, мы свели исходнок уравнение к последующему:

(x + 2 * y)^2 + (y + 1)^2 = 0.

Так как квадрат числа всегда есть неотрицательное число и обращается в ноль при нулевом значении аргумента, то

(x + 2 * y)^2 gt;= 0,

(y + 1)^2 gt;= 0,

(x + 2 * y)^2 + (y + 1)^2 gt;= 0.

Получили, что

(y + 1)^2 = 0, y = -1.

(x + 2 * y)^2 = 0, x + 2 * y = 0, x = -2 * y = -2 * (-1) = 2.

Ответ: x = 2, y = -1.