Из верхушки острого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса которая разделила обратный

Осмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В.

Пусть АМ - биссектриса угла А и точка М лежит на катете ВС.

Обозначим длины катетов АВ и ВС треугольника АВС через а, b, а длину гипотенузу АС через с.

По свойству биссектрисы треугольника имеем:

AB / BM = AC / CM,

a / 4 = c / 5,

c = 5/4 * a.

Также имеем:

BC = BM + CM = 4 + 5 = 9 = b.

По аксиоме Пифагора получим:

a^2 + b^2 = c^2,

a^2 + 9^2  = (5/4 * a)^2,

a^2 + 81 = 25/16 * a^2,

9/16 * a^2 = 81,

a^2 = 9 * 16,

a = 3 * 4 = 12.

Как следует, площадь S треугольника ABC:

S = 1/2 * a * b = 1/2 * 12 * 9 = 54.