1)Задана функция f(x)=sin x/2 найдите производную 2) Найдите наивеличайшее и меньшее

1) Функция sin^3(x/2) является трудной. Это означает, что если есть функция вида f(g(x)), то ее производная рассчитывается как f(g(x))*g(x). В нашем случае первой внешней функцией является степенная, потом идет функция sin(x), а потом функция аргумента синуса - x/2. Таким образом:

(sin^3(x/2))=3*sin^2(x/2)*cos(x/2)*(1/2)=1,5*sin^2(x/2)*cos(x/2).

2) Задачка на поиск наибольшего и меньшего значения сводится к поиску экстремума функции на данном отрезке. Нужным условием экстремума функции является равенство нулю производной в этой точке. Найдем производную нашей функции:

(cosx -1/3 cos3x)= -sinx + 1/3*3*sin3x= sin3x - sinx - тут учтено, что наша функция трудная.

Теперь найдем нули функции sin3x - sinx:

sin3x - sinx =0 =gt; 2*sinx*cos2x=0 (формула разности синусов)

Отсюда x1= pi*n, x2= pi/4 + pi*n/2, где n - любое целое число.

В наш отрезок попадают числа x_1=0, x_2=pi/4. При x_1 - локальный минимум (если xlt;x1 f(x)lt;0 и f(x) - убывает; если xgt;x_1 f(x)gt;0 и f(x) - подрастает). При x_2 - локальный максимум (если xlt;x_2 f(x)gt;0 и f(x) - подрастает; если xgt;x2 f(x)lt;0 и f(x) - убывает).

Наивеличайшее значение - f(pi/4)=(1/2)^0,5 + 1/3*(1/2)^0,5 = 2*(2)^0,5/3.

f(0)=1-1/3=2/3. Сейчас проверим вторую граничную точку: f(pi/2)=0-1/3*0=0. Следовательно, меньшее значение - f(pi/2)=0.