Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2RgcgfO).

Так как КД параллельно ВС, а ДМ параллельно АВ, то четырехугольник ДКВМ параллелограмм, а как следует, КД = ВМ, КВ = ДМ.

Треугольник АКД подобен треугольнику АВС по двум углам, а так как треугольник АВС, по условию, равносторонний, то и треугольник АКД равносторонний, АК = КД.

 Треугольник СДМ сходствен треугольнику АВС по двум углам, а так как треугольник АВС, по условию, равносторонний, то и треугольник СМД равносторонний, СМ = ДМ.

Тогда периметр ДКВМ будет равен: Р = (КД + ВК) + (ВМ + ДМ) = (АК + ВК) + (ВМ + СМ) = АВ + СВ.

Что  и требовалось обосновать.