У многоугольника провели все диагонали.Их оказалось 15.Сколько вершин у этого многоугольника?

Докажем, что у выпуклого n-угольника есть n * (n - 3) / 2 диагоналей.

Выберем всякую из n вершин. Очевидно, что ее можно соединить диагоналями с n - 3 верхушками, так как для самой верхушки и 2-ух примыкающих с ней вершин диагоналей нет. Тогда всего диагоналей будет n * (n - 3), но любая будет подсчитана по 2 раза, т.к. подсчет водили для каждой диагонали с 2-х вершин. Как следует, всего n * (n - 3) / 2 диагоналей.

По условию задачки, у многоугольника 15 диагоналей. Тогда:

n * (n - 3) / 2 = 15,

n^2 - 3 * n - 30 = 0,

D = 9 + 4 * 30 = 129.

D = 129 - не является целым числом, потому не существует целого n решения уравнения.

Значит, не существует многоугольника с 15 диагоналями.