Самолет выходит из строя, если у него испорчены оба мотора

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачками, в которых одно и то же испытание повторяется часто. В итоге каждого тесты может показаться либо не показаться некое событие А, при этом нас не интересует итог каждого отдельного тесты, а общее число возникновений события А в итоге серии опытов. К примеру, если производится группа выстрелов по одной и той же цели, нас, как управляло, не интересует итог каждого выстрела, а общее число попаданий. В сходственных задачках нужно уметь определять вероятность хоть какого заданного числа появлений действия в результате серии опытов. Такие задачки и будут осмотрены. Они решаются очень просто в случае, когда испытания являются самостоятельными. Определение. Тесты величаются самостоятельными, если вероятность того либо иного финала каждого из испытаний не зависит от того, какие финалы имели иные тесты. К примеру, несколько бросаний монеты представляют собой самостоятельные тесты. 2. Формула Бернулли Пусть произведено два тесты(n=2). В итоге вероятно наступление 1-го из последующих событий: Соответствующие вероятности данных событий такие: . либо - пришествие действия только в одном испытании. - возможность наступления действия два раза. - возможность наступления действия только один раз. - вероятность пришествия действия нуль раз. Пусть сейчас n=3. Тогда вероятно пришествие одного из последующих вариантов событий: . Соответствующие вероятности одинаковы . Очевидно, что приобретенные результаты при n=2 и n=3 являются элементами и . Теперь допустим, произведено n испытаний. Событие А может наступить n раз, 0 раз, n-1 раз и т.д. Напишем событие, состоящее в пришествии действия А m раз Нужно отыскать число испытаний, в которых событие А наступит m раз. Для этого надо найти число комбинаций из n элементов, в которых А повторяется m раз, а n-m раз. - возможность пришествия события А. (1) Заключительная формула называется формулой Бернулли и представляет собой общий член разложения : . Из формулы (1) видно, что ее удобно использовать, когда число испытаний не очень велико. Образцы 1. Кидается монета 7 раз. Отыскать вероятность пришествия сокола три раза. Решение. n=7, m=3 . 2. Каждый денек акции компании АВС подымаются в стоимости либо падают в стоимости на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Отыскать возможность того, что акции после 6 дней возвратятся к своей начальной цене. Принять условие, что конфигурации цены акции ввысь и вниз самостоятельные действия. Решение. Для того, чтоб акции вернулись за 6 дней к собственной начальной стоимости, необходимо, чтобы за это время они 3 раза поднялись в стоимости и три раза опустились в цене. Разыскиваемая возможность рассчитывается по формуле Бернулли 3. Моторы многомоторного самолёта выходят из строя во время полёта самостоятельно один от иного с вероятностью р. Многомоторный самолёт продолжает лететь, если работает не наименее половины его моторов. При каких значениях р двухмоторный самолёт надёжней четырёхмоторного самолёта? Решение. Двухмоторный самолёт терпит аварию, если отвергают оба его мотора. Это происходит с вероятностью р2. Четырёхмоторный самолёт терпит аварию, если выходят из строя все 4 мотора а это происходит с вероятностью р4, или выходят из строя три мотора из 4-х. Возможность заключительного действия вычисляется по формуле Бернулли: . Чтобы двухмоторный самолёт был надёжнее, чем четырёхмоторный, необходимо, чтобы производилось неравенство р21/3. Следует отметить, что если бы вероятность выхода из строя мотора самолёта превосходила одну третья часть, сама мысль использования авиации для пассажирских перевозок была бы очень сомнительной. 4. Бригада из 10 человек идёт обедать. Имеются две однообразные столовые, и каждый член бригады независимо один от другого идёт обедать в всякую из этих столовых. Если в одну из столовых нечаянно придёт больше гостей, чем в ней имеется мест, то появляется очередь. Какое наименьшее число мест обязано быть в каждой из столовых, чтоб возможность возникновения очереди была меньше 0,15? Решение. Решение задачи придётся разыскивать перебором вероятных вариантов. Сначала заметим, что если в каждой столовой по 10 мест, то возникновение очереди невозможно. Если в каждой столовой по 9 мест, то очередь возникнет только в случае, если все 10 посетителей попадут в одну столовую. Из условия задачки следует, что каждый член бригады избирает данную столовую с вероятностью 1/2. Значит, все соберутся в одной столовой с вероятностью 2(1/2)10=1/512. Это число много меньше, чем 0,15, и следует провести расчёт для восьмиместных столовых. Если в каждой столовой по 8 мест, то очередь возникнет, если все члены бригады придут в одну столовую, возможность этого события теснее вычислена, либо 9 человек пойдут в одну столовую, а 1 человек выберет иную столовую. Возможность этого действия рассчитывается с помощью формулы Бернулли . Таким образом, если в столовых по 8 мест, то очередь появляется с вероятностью 11/512, что пока ещё меньше, чем 0,15. Пусть сейчас в каждой из столовых по 7 мест. Не считая 2-ух осмотренных вариантов, в данном случае очередь возникнет, если в одну из столовых придёт 8 человек, а в иную 2 человека. Это может произойти с вероятностью . Означает, в этом случае очередь появляется с вероятностью 56/512=0,109375lt;0,15. Действуя аналогичным образом, вычисляем, что если в каждой столовой 6 мест, то очередь появляется с вероятностью 56/512+120/512=176/512=0,34375. Отсюда получаем, что наименьшее число мест в каждой столовой обязано равняться 7. 5. В урне 20 белоснежных и 10 темных шаров. Вытащили 4 шара, при этом каждый вынутый шар отдают в урну перед извлечением последующего и шары в урне размешивают. Отыскать возможность того, что из 4 вынутых шаров окажется 2 белых. Решение. Событие А достали белоснежный шар. Тогда вероятности , . По формуле Бернулли требуемая вероятность равна . 6. Найти вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше 3-х девченок. Вероятности рождения мальчугана и девченки предполагаются схожими. Решение. Возможность рождения девченки , тогда . Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девченки: , , , . Как следует, разыскиваемая возможность . 7. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти возможность того, что посреди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными. Решение. Тут опыт содержится в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - "появление необычной детали", его возможность , тогда . Отсюда по формуле Бернулли обретаем . 8. При каждом отдельном выстреле из орудия возможность поражения цели одинакова 0,9. Найти возможность того, что из 20 выстрелов число успешных будет не наименее 16 и не более 19. Решение. Вычисляем по формуле Бернулли: 9. Самостоятельные испытания длятся до тех пор, пока событие А не произойдет k раз. Отыскать вероятность того, что потребуется n испытаний (n k), если в каждом из них . Решение. Событие В ровно n испытаний до k-го появления действия А есть творение 2-ух последующий событий: D в n-ом испытании А вышло; С в первых (n1)-ом испытаниях А появилось (к-1) раз. Аксиома умножения и формула Бернулли дают требуемую возможность: . 10. Из n аккумов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумов. Определить возможность того, что посреди их l исправных. n = 100, k = 7, m = 5, l = 3. Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p=7/100=0,07 (вероятность того, что аккумулятор выйдет из строя), n = 5 (число испытаний), k = 5-3 =2 (число "фурроров", неисправных аккумов). Будем использовать формулу Бернулли (возможность того, что в n испытаниях событие произойдет k раз). Получаем 11. Устройство, состоящее из 5 независимо работающих частей, включается за время Т. Возможность отказа каждого из их за это время одинакова 0,2. Найти возможность того, что откажут: а) три элемента; б) не наименее четырех частей; в) хотя бы один элемент. Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами p = 0,2 (возможность того, что элемент откажет), n = 5 (число испытаний, то есть число частей), k (число "фурроров", отказавших элементов). Будем использовать формулу Бернулли (возможность того, что для n элементов отказ произойдет в k элементах): . Получаем а) - возможность того, что откажут ровно три элемента из 5. б) - возможность того, что откажут не наименее 4 элементов из 5 (то есть либо четыре, либо 5). в) - возможность того, что откажет хотя бы один элемент (отыскали через возможность обратного действия - ни один элемент не откажет). 12. Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, одинаковой 1/3, чтоб наивероятнейшее число побед было равно 5? Решение: Наивероятнейшее число побед k определяется из формулы Тут p =1/3 (вероятность победы), q = 2/3 (возможность проигрыша), n - безызвестное число партий. Подставляя данные значения, получаем: