Обоснуйте, что если число m при дробленьи на 6 даёт остаток

Из условия задачи знаменито, что число m при дробленьи на 6 даёт остаток 1, как следует, число m можно представить в виде m = 6k + 1, где k некое целое число.

Подставляя данное значение m = 6k + 1 в выражение m^2 - 2m + 19, получаем:

m^2 - 2m + 19 = (6k + 1)^2 - 2 * (6k + 1) + 19 = 36k^2 + 12k + 1 - 12k - 2 + 19 = 

36k^2 + 18 = 18 * (2k^2 + 1).

Так как число m^2 - 2m + 19 можно представить в виде произведения 2-ух сомножителей, один из которых равен 18, то это число делится на 18 без остатка.