1) Шестой член геометрической прогрессии с положительными членами равен 4, а

1. Пусть, b_n n-й член геометрической прогрессии, где n = 1, 2 , . По условию задания, b_n gt; 0, для всех n = 1, 2 , ; b₆ = 4 и b₄ = 9. Нужно отыскать b₇. Воспользуемся формулой b_n = b₁ * q^{n 1}, где q знаменатель геометрической прогрессии. Имеем, b₆ = b₁ * q^{6 1} = 4 либо b₁ * q⁵ = 4. Подобно, b₄ = b₁ * q^{4 1} = 9 либо b₁ * q³ = 9. Тогда, (b₁ * q⁵) : (b₁ * q³) = 4 : 9, откуда q⁵ : q³ = 4/9. Как следует, q^{5 3} = 4/9. Значит, q = (4/9) = +2/3, поскольку b_n gt; 0, для всех n = 1, 2 , . Тогда, b₇ = b₆ * q = 4 * 2/3 = 8/3 = 2²/₃.
2. Пусть, b_n n-й член геометрической прогрессии со знаменателем q, где n = 1, 2 , . По условию задания, (b₅ + b₆) : (b₃ + b₄) = 1/9. Необходимо найти q. Воспользуемся формулой b_n = b₁ * q^{n 1}. Имеем: (b₁ * q⁴ + b₁ * q⁵) : (b₁ * q² + b₁ * q³) = 1/9 либо (b₁ * q⁴ * (1 + q)) : (b₁ * q² * (1 + q)) = 1/9. Как следует, q² = 1/9. Означает, q = (1/9) = 1/3.
3. Пусть, b_n n-й член геометрической прогрессии со знаменателем q, где n = 1, 2 , . По условию задания, b₁ = 27, q = 1/3. Необходимо найти сумму первых 7 членов этой прогрессии S₇. . Воспользуемся формулой S_n = b₁ * (1 qⁿ) / (1 q). Имеем: S₇ = 27 * (1 (1/3)⁷) / (1 (1/3)) = 27 * [(3⁷ 1) / (3⁷)] / [(3 1) / 3] = 3³ * [(2187 1) * 3 / 2 * (3⁷)] = 3³ * 1093 / (3⁶) = 1093 / (3³) = 1093/27 = 40¹³/₂₇.

Ответы: 1) 8/3 = 2²/₃; 2) и ; 3) 1093/27 = 40¹³/₂₇.