Медвежонок вымыслил три различных естественных числа, сумма которых делится на каждое

   1. Предположим, медвежонок замыслил три естественных числа: a, b и c, и пусть:

      a lt; b lt; c.

   Тогда:

• a + b + c = ma; (1)
• a + b + c = nb; (2)
• a + b + c = kc, (3)
• где m, n и k - тоже натуральные числа, при этом:
• k lt; n lt; m.

   2. Из уравнений (1), (2) и (3) получим:

• 1/m = a/(a + b + c); (4)
• 1/n = b/(a + b + c); (5)
• 1/k = c/(a + b + c). (6)

   3. Сложим уравнения (4), (5) и (6):

• 1/m + 1/n + 1/k = (a + b + c)/(a + b + c);
• 1/m + 1/n + 1/k = 1. (7)

   4. Из уравнения (7) следует, что k gt; 1. Допустим k 3. Тогда:

      1/m + 1/n + 1/k lt; 3 * 1/k 3 * 1/3 = 1.

   Для k остается единственное значение:

• k = 2;
• 1/m + 1/n + 1/2 = 1;
• 1/m + 1/n = 1/2.

   Подобно найдем значение для n. При n 4 имеем:

      1/m + 1/n lt; 2 * 1/n 2 * 1/4 = 1/2.

   Означает, n = 3:

• 1/m + 1/3 = 1/2;
• 1/m = 1/6;
• m = 6.

   5. Подставив значения m = 6, n = 3, k = 2 в уравнения (1), (2), (3) и решив легкую систему, найдем задуманные числа:

• a + b + c = 6a;
  a + b + c = 3b;
  a + b + c = 2c;
• b + c = 5a;
  a + c = 2b;
  a + b = c;
• b + a + b = 5a;
  a + a + b = 2b;
  a + b = c;
• 2b = 4a;
  2a = b;
  a + b = c;
• b = 2a;
  c = 3a.

   Ответ. Неважно какая тройка чисел: (a; 2a; 3a), a N. Например: (1; 2; 3).