X^2+6x+19amp;lt;0 .... ...............

Найдем при каких значениях x последующее неравенство x^2 + 6x + 19 lt; 0  будет выполняться.

1) Первостатейно приравняем выражение к 0 и найдем нули.

Получаем: x^2 + 6x + 19 = 0. Перед нами квадратное уравнение. Разыскиваем корешки с помощью дискриминанта.

D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 6, c = 19. D = 6^2 - 4 * 1 * 19 = 36 - 76 = - 40 lt; 0, означает уравнение  не имеет корней. 

Но это только у уравнения корней нет, это означает, что нет скрещения с осью абсцисс. При этом a = 1, что больше 0, означает ветки параболы ориентированы ввысь. Означает неравенство производится при всех значениях безызвестной x.