Корень из (x-4)(5x+41) amp;lt; 2(2x-7)

Выражение под квадратным корнем не обязано принимать отрицательные значения, так же как и выражение справа.

Означает нужно выявить спектр значений Х.

1) Х - 4 0  и  5X +41 0, откуда следует Х 4  и  Х -8,2. Спектр значений Х таковой: Х [4; +).

Х 4   0  и 5X +41 0, откуда получаемся, что Х 4  и  Х -8,2. Область значений: Х (-; -8,2].

В итоге область значений Х (-; -8,2] и [4; +).

2) 2Х 7 0, откуда вытекает, что Х 3,5, а область значений: Х [3,5; +).

Из 2-ух приобретенных диапазонов избираем общий спектр, и получаем: Х [4; +).

Теперь возведем в квадрат обе доли неравенства, раскрываем скобки и упрощаем.

( ((X - 4) * (5X + 41)))² lt; (2 * (2X - 7))².

(X - 4) * (5X + 41) lt; 4 * (4Х² 28Х + 49).

5Х² + 41Х 20Х 164 lt; 16Х² 112Х + 196.

16Х² 112Х + 196 - 5Х² - 41Х + 20Х + 164 gt; 0.

11Х² 133Х + 360 gt; 0.

Преобразуем выражение слева: найдем корешки посредством дискриминанта.

D = (-133)² 4 * 11 * 360 = 17689 15840 = 1849 = 43².

Х₁ = (-(-133) + 43) / (2 * 11) = 176/22 = 8.

Х₂ = (-(-133) - 43) / (2 * 11) = 90/22 = 4 2/22 = 4 1/11.

11Х² 133Х + 360 = 11 * (Х 8) * (Х 4 1/11).

Осмотрим приобретенное неравенство.

11 * (Х 8) * (Х 4 1/11) gt; 0.

Область значений Х (-; 4 1/11) и (8; +).

Сравним приобретенный спектр Х с областью значений Х [4; +).

В итоге выходит, что Х [4; 4 1/11) и (8; +) для неравенства ((x-4) * (5x + 41)) lt; 2 * (2x - 7).

Ответ: Х [4; 4 1/11) и (8; +).