Решите уравнения 2*2^(2x)-17*2^x+8=0; 5*2^(2x)-7*10^x+2*5^(2x)=0 Тема показательные уравнения

1. Для решения показательного уравнения выполним замену:

2 * 2^(2x) - 17 * 2^x + 8 = 0;

2^x = у gt; 0;

2 * 2^(2x) - 17 * 2^x + 8 = 0;

2 у - 17у + 8 = 0;

1. Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 17) - 4 * 2 * 8 = 289 - 64 = 225;

D 0, означает:

у1 = ( - b - D) / 2a = ( 17 - 225) / 2 * 2 = ( 17 - 15) / 4 = 2 / 4  = 1/2;

у2 = ( - b + D) / 2a = ( 17 + 225) / 2 * 2 = ( 17 + 15) / 4 = 32 / 4  = 8;

1. Найдем х:

2^x = у;

Если у = 1/2, то:

2^x = 1/2;

2^x = 2^( - 1);

х1 = - 1;

Если у = 8, то:

2^x = 8;

2^x = 2^3;

х2 = 3;

Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.

1. Чтобы решить показательное уравнение, воспользуемся свойством ступени:

5 * 2^(2x) - 7 * 10^x + 2 * 5^(2x) = 0;

5 * 2^(2x) - 7 * 2^ x * 5^x + 2 * 5^(2x) = 0;

1. Раздели каждый член равенства на 5^2x:

(5 * 2^(2x)) / 5^2x - (7 * 2^ x * 5^x) / 5^2x + (2 * 5^(2x)) / 5^2x = 0;

5 * (2/5)^(2x) - 7 * (2/5)^ x + 2 * 1 = 0;

1. Выполним замену:

(2/5)^x = у gt; 0;

5 * y^2 - 7 * y + 2 = 0;

5у^2 - 7у + 2 = 0;

1. Найдем корешки, решив квадратное уравнение:

Вычислим  дискриминант:

D = b^2 - 4ac = ( - 7)^2 - 4 * 5 * 2 = 49 - 40 = 9;

D 0, значит:

у1 = ( - b - D) / 2a = ( 7 - 9) / 2 * 5 = ( 7 - 3) / 10 = 4 / 10  = 2/5;

у2 = ( - b + D) / 2a = ( 7 + 9) / 2 * 5 = ( 7 + 3) / 10 = 10 / 10  = 1;

1. Найдем х:

(2/5)^x = у;

Если у = 1, то:

(2/5)^x = 1;

(2/5)^x = 2/5^0;

х1 = 0;

Если у = 2/5, то:

(2/5)^x = 2/5;

(2/3)^x = 2/3^1;

х2 = 1;

Ответ: х1 = 0; х2 = 1.