В треугольнике ABC AC = 42 cм, угол С = 45,

Аксиома синусов говорит, что все стороны треугольника пропорциональны обратным углам.

Таким образом, получаем последующее соотношение: АС/sin В = ВС/sin А = АВ/ sin С.

Поначалу вычислим угол В.

По формуле суммы всех углов треугольника имеем: А + В + С = 180⁰.

В = 180⁰ А С.

В = 180⁰ - 30⁰ - 45⁰.

В = 105⁰.

Сейчас найдем сторону ВС по формуле АС/sin В = ВС/sin А.

ВС = АС * sin А / sin В.

ВС = 42 см * sin 30⁰ / sin 105⁰.

sin 30⁰ = .

sin 105⁰ представим как синус суммы 2-ух углов.

sin (60⁰ + 45⁰) = sin 60⁰ * cos 45⁰ + sin 45⁰ * cos 60⁰ = 3/2 * 2/2 + 2/2 *1/2 = 6/4 + 2/4.

Сейчас подставим полученные значения.

ВС = 42 см * 1/2 / (6/4 + 2/4).

ВС = 22 см * (6/4 + 2/4).

Раскроем скобки и упростим.

ВС = 22 * 6/4 + 22 * 2/4.

ВС = 12 / 2  + 4 см / 2.

ВС = 23 / 2 + 2 см / 2.

ВС = 3 + 1.

Ответ: ВС = (3 + 1) см.