1 найдите разность между наивеличайшим и минимальным решениями системы (x+6)(x-3)/3x^2 -

1) (x + 6)(x - 3)/(3x - 2x + 7)  0; x 25.

Поначалу решаем каждое неравенство раздельно.

а) (x + 6)(x - 3)/(3x - 2x + 7)  0.

Дробь тогда больше нуля, когда числитель и знаменатель имеют равные знаки.

Осмотрим знаменатель дроби: у = 3x - 2x + 7, это квадратичная парабола, ветки ввысь. Найдем точки пересечения параболы с осью х: у = 0; 3x - 2x + 7 = 0; D = 4 - 84 = -80.

D lt; 0, нет точек скрещения с осью х, вся парабола находится над осью х (так как ветки вверх), означает, значение данного выражения позитивно при любом значении х.

Так как знаменатель положительный, означает, и числитель положительный:

(x + 6)(x - 3) 0.

Корешки неравенства -6 и 3, знаки неравентсва: (+) -6 (-) 3 (+).

Решение данного неравенства: (-; -6] и [3; +).

б) x 25. Преобразуем: x - 25 0; (х - 5)(х + 5)  0.

Корни неравенства -5 и 5, знаки неравенства: (+) -5 (-) 5 (+).

Решение данного неравенства: (-; -5] и [5; +).

в) Объединяем оба решения: (-; -6], [3; +), (-; -5] и [5; +).

Ответ: х принадлежит (-; -6] и [5; +).

Наибольшим и минимальным решением системы будет - и +, разность меж ними вычислить невероятно.

2) (x + 3)(x - 2)(x + 1)³(x - 5)⁴ 0.

Осмотрим все скобки. Значение скобок (x - 2) и (x - 5)⁴ будут положительными ( 0) при любом значении х, так как ступень четная.

Получается неравенство: (x + 3)(x + 1)³  0.

Корни неравенства -3 и -1, знаки неравенства: (+) -3 (-) -1 (+).

Решением неравенства будут (-; -3] и [-1; +).

Целых решений неравенства множество, вычислить их сумму невероятно.

3) (x + 3x + 1)(x + 3x - 3) 5.

Произведем подмену, пусть x + 3x = а.

(а + 1)(а - 3)  5.

Раскрываем скобки:

а + а - 3а - 3 - 5 0.

а - 2а - 8 0.

Осмотрим функцию у = а - 2а - 8, это квадратичная парабола, ветки ввысь.

Функция будет меньше нуля на интервале, где парабола проходит под осью х. Обретаем точки скрещения с осью х: у = 0.

а - 2а - 8 = 0.

D = 4 + 32 = 36 (D = 6);

а₁ = (2 - 6)/2 = -2.

а₂ = (2 + 6)/2 = 4.

Значение функции меньше нуля на промежутке [-2; 4].

Другими словами а  -2 и а  4.

Возвращаемся к подмене x + 3x = а.

а  -2; x + 3x  -2; x + 3x + 2 0.

Парабола у = x + 3x + 2 больше 0 там, где ветки параболы идут выше оси х.

D = 9 - 8 = 1 (D = 1); х₁ = (-3 - 1)/2 = -2 и х₂ = (-3 + 1)/2 = -1.

Решение: (-; -2] и [-1; +).

а  4; x + 3x  4; x + 3x - 4  0.

Парабола у = x + 3x - 4 меньше 0 там, где ветки параболы идут ниже оси х.

D = 9 + 16 = 25 (D = 5); х₁ = (-3 - 5)/2 = -4 и х₂ = (-3 + 5)/2 = 1.

Решение: [-4; 1].

Соединяем: (-; -2] и [-1; +) и [-4; 1].

Ответ: х принадлежит интервалам [-4; -2] и [-1; 1].