Вычислите: а)tg1tg2tg3...tg89 б)ctg2ctg4ctg6...ctg178

а) Для решения перегруппируеммножители, получим:

tg 1 tg 2 tg 3 ... tg 89 = (tg 1 tg 89) (tg 2 tg 88) ... (tg 44 tg 46) tg 45 =

= (tg (45 - 44) tg (45 + 44))  (tg (45 - 43) tg (45 + 43)) ... (tg (45 - 1) tg (45 + 1))  tg 45.

При этом для хоть какого a:

tg (45 - a) tg (45 + a)) = (tg 45 - tg a) / (1 + tg 45 * tg a) *(tg 45 + tg a) / (1 - tg 45 * tg a) =

= (1 - tg a) / (1 + tg a) * (1 + tg a) / (1 - tg a) = 1.

Следовательно:

(tg (45 - 44) tg (45 + 44)) = 1; (tg (45 - 43) tg (45 + 43)) = 1 и т.д.

Отсюда имеем: tg 1 tg 2 tg 3 ... tg 89 = 1  1  1  ...  1  1  tg 45 = tg 45 = 1.

Ответ: 1.

б) ctg 2 ctg 4 ctg 6 ... ctg 178 =

= ctg 2 ctg 4 ctg 6 ... ctg 88 ctg 90  ctg 92  ...  ctg 178 =

= ctg 2 ctg 4 ctg 6 ... ctg 88 0  ctg 92  ...  ctg 178 = 0.

Ответ: 0.