1-й, 10-й и 13-й члены арифметической прогрессии, взятые в данном порядке,

Из условия:

а₅ = а₁ + 4d = 38, отсюда а₁ = 38 - 4d.

а₁, а₁ + 9d, а₁ + 12d - убывающая геометрическая прогрессия, где 0 lt; q lt; 1.

Применяя формулы геометрической прогрессии, получим:

(а₁ + 9d)² = (а₁ + 12d) * а₁.

(38 - 4d + 9d)² = (38 - 4d + 12d) * (38 - 4d);

(38 + 5d)² - (38 + 8d) * (38 - 4d) = 0;

1444 + 380d + 25d² - 1444 + 152d - 304d + 32d² = 0;

57d² + 228d = 0;

57d * (d + 4) = 0;

d₁ = 0, d₂ = -4.

Таким образом, вероятны два варианта:

1) а₁ = 38 - 4 * 0 = 38, а₁₀ = 38, а₁₃ = 38 - не удовлетворяет условию.

2) а₁ = 38 - 4 * (-4) = 54, а₁₀ = 54 + 9 * (-4) = 18, а₁₃ = 54 + 12 * (-4) = 6 - разыскиваемая прогрессия.

Найдем сумму первых 15-и членов этой арифметической прогрессии:

S₁₅ = ((2a₁ + d * (n - 1)) * n) / 2 = ((2 * 54 + 14 * (-4)) * 15) / 2 = 390.

Ответ: S₁₅ равна 390.