Из комплекта гирек с массами 1, 2, ..., 101 г потерялась

Осмотрим сначала все гирьки с первой по 101-ю, и сумма веса всего одинакова: (1 + 101)/2 * 101 = 51 * 101 = 5151. После того, как гирьку в 19 г получим общий вес: 5151г - 19 г = 5132, и таковой вес на двое можно разделить. Получим вес, равный 5132 : 2 = 2566 г. Разделяем все гири на две кучки.

Сначала берём: 1-я кучка: 1+ 101: 2 + 100; ... 9 + 93, 2-я кучка: 10 + 92; .....18 + 84; тут сумма веса в кучке по 102 г, всего 18 пар  по 9 в кучке.

Дальше берём такие гири, всего 32 пар, которые разделяем тоже на 2 доли, причём это сделать можно произвольно по 16 пар в каждую кучку: 20 + 83; 21 + 82; и так далее.