Найдите меньшее естественное число n, при котором число (n^2+n)(n^2+5n+6) делится на

1. Данное выражение обозначим через Q = (n² + n) * (n² + 5 * n + 6). Разложим содержимые скобок на множители. Тогда, получим: Q = n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3). Означает, произведение четырёх поочередных естественных чисел обязано делиться на 2000.
2. Разложим число 2000 на обыкновенные множители: 2000 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5. Это разложение обязует наличие четырёх двоек и трёх пятерок в составе разложения Q на обыкновенные множители.
3. Отметим, что из четырёх попорядку идущих чисел на 5 может делиться только одно. Явно, что это число должно делиться и на 5 * 5 * 5 = 125. Наименьшим естественным числом, в составе разложения которого имеются три пятёрки это 125 = 5 * 5 * 5.
4. Таким образом, узнали, что эти четыре попорядку идущие числа необходимо отыскивать посреди последующих чисел: 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128. Осмотрим возможные 4 варианта.
5. А) n = 122. Тогда, Q = 122 * 123 * 124 * 125. В этом случае число 122 даёт одну двойку, а 124 две двойки, всего выходит 3. Надобно 4 двойки. Не хватает.
6. Б) n = 123. Тогда, Q = 123 * 124 * 125 * 126. В этом случае число 124 даёт две двойки, а 126 одну двойку. Не хватает.
7. В) n = 124. Тогда, Q = 124 * 125 * 126 * 127. Этот случай подобен предшествующему случаю.
8. Г) n = 125. Тогда, Q = 125 * 126 * 127 * 128. Этот случай даёт аж 8 двоек. Более чем довольно.

Ответ: n = 125.