Разверткой боковой поверхности конуса является сектор, радиус которого равен 6 см,

1. Дано: Конус, у которого разверткой боковой поверхности является сектор с радиусом 6 см, а центральный угол 120. Нужно определить объем конуса. См. рис. http://bit.ly/ZTopsh3635.
2. Объем V конуса вычислим по формуле V = (1/3) * S * H, где S площадь основания (то есть, круга) конуса, H вышина конуса. Обозначим через r радиус основания конуса, а через Р образующую конуса.
3. По условию задания Р = 6 см. Так как с одной стороны, длина дуги ВСВ сектора одинакова длине окружности основания окружности, а с другой стороны, эта дуга опирается на центральный угол окружности с градусной мерой 120 = 360 : 3, то имеем 2 * * r = (2 * * Р) : 3 или r = Р : 3 = 2 см.
4. Ясно, что АОВ является прямоугольным треугольником, с гипотенузой АВ = Р и катетами АО = H и ВО = r. По теореме Пифагора, имеем АВ = АО + ВО, то есть, Р = H + r, откуда H= Р r = (6 см) (2 см) = 36 см 4 см = 32 см. Как следует, H = (32 см) = 4(2) см.
5. Таким образом, V = (1/3) * S * H = (1/3) * * r * H = (1/3) * * (2 см) * (4(2) см) = (1 * 4 * 4(2) / 3) * см = (16 * (2) / 3) *  см.

Ответ: (16 * (2) / 3) *  см.