Найти экстремум функции Z=x+y-3xy-x-y

1. Осмотрим функцию 2-ух переменных z = x + y - 3 * x * y x - y. По требованию задания, найдём экстремумы функции (если таковые существуют).
2. На исходном этапе решения, необходимо отыскать стационарные точки. Для этого найдём приватные производные 1-го порядка. При нахождении z/x считаем аргумент y неизменным: z/x = (x + y - 3 * x * y x - y)/x = 2 * x - 3 * y - 1. При нахождении z/y считаем аргумент x неизменным: z/y = (x + y - 3 * x * y x - y)/y = 2 * y - 3 * x - 1.
3. Приравнивая отысканные 1-ые производные к нулю, решим систему 2 * x - 3 * y 1 = 0, 2 * y - 3 * x 1 = 0. В данном случае получена система 2-ух линейных уравнений с 2-мя неведомыми, которую можно решить несколькими способами. Несложно убедиться, что она имеет решение х = -1, у = -1. Таким образом, отыскали одну стационарную точку М(-1; -1).
4. Сейчас нужно проверить достаточное условие экстремума функции 2-ух переменных, для внедрения которого необходимо вычислить приватные производные 2-го порядка в точке М. Введём следующие обозначения: A = z/x(M), B = z/xy(M) и С = z/y(М). Вычислим: z/x = (2 * x - 3 * y - 1)/x = 2, означает, A = 2. Подобно, z/xy = (2 * y - 3 * x - 1)/x = (2 * x - 3 * y - 1)/у = -3, значит, В = -3. В конце концов, z/y = (2 * y - 3 * x - 1)/у = 2, означает, С = 2.
5. Вычислим: А * С - В = 2 * 2 (-3) = 4 9 = -5. Так как А * С - В = 5 lt; 0, то в точке М нет экстремума.

Ответ: Данная функция не имеет экстремума.