Отыскать приватное решение дифференциального уравнения y"-6y39;+9y=0 если y=3 y39;=-6 при x=0

Для заданого дифференциального уравнения второго порядка составим характеристическое уравнение:

k - 6k + 9 = 0.

Найдем его дискриминант D = 6 - 9*4 = 36 - 36 = 0. Так как дискриминант равен нулю, корешки характеристического уравнения действительны и одинаковы, а решение дифференциального уравнения имеет вид: y(x) = (C1 * x + C2) * e^(k * x), где C1 и C2 - константы.

Найдем k:

k = - ((-6) / (2 * 1)) = 6 / 2 = 3.

Следовательно, y(x) = (C1 * x + C2) * e^(3x).

1-ая производная: y(x) = ((C1 * x + C2) * e^(3x)) = C1 * e^(3x) + (C1 * x) * 3 * e^(3x) = C1 * e^(3x) * (1 + 3x).

Так как y(0) = -6, и при этом y(0) = C1 * e^0 * (1 + 0) = С1 * 1 * 1 = C1, то C1 = -6.

Так как y(0) = 3, и при этом y(0) = (C1 * 0 + C2) * e^0 = C2, то С2 = 3.

Отсюда, приватное решение уравнения: y(x) = (3 - 6x) * e^(3x).

Ответ: y(x) = (3 - 6x) * exp(3x).