ПРОШУ. Обоснуйте, что для хоть какого естественного n: 3^n+4^n-1 делится на 6

Докажем, что если число A = 3^k + 4^k - 1 делится на 6, то число 3^n + 4^n - 1, где n = k + 1, тоже делится на 6.

B = 3^n + 4^n - 1 = 3^(k + 1) + 4^(k + 1) - 1 = 3 * 3^k + 4 * 4^k - 1 = 

= 3^k + 4^k - 1 + 2 * 3^k + 3 * 2^k = A + 2 * 3^k + 3 * 2^k.

2 * 3^k делится на 6, так как оно является произведением 2 и 3^k, значит одновременно делится на 2 и на 3, а, означает, делится на 6.

3 * 2^k тоже делится на 6, так как оно является произведением 3 и 2^k, означает сразу делится на 3 и на 2, а, означает, делится на 6.

Следовательно число B, являющееся суммой A + 2 * 3^k + 3 * 2^k делится на 6, так как каждое из слагаемых делится на 6.

Таким образом, мы обосновали, что если 3^k + 4^k - 1 делится на 6, то 3^n + 4^n - 1, где n = k + 1, тоже делится на 6 для хоть какого k.

Пусть k = 1. Тогда 3^k + 4^k - 1 = 3^1 + 4^1 - 1 = 3 + 4 - 1 = 6. 6 Делится на 6, как следует, из принципа математической индукции на 6 делится число при k = 2, k = 3 и т.д.