1)ctg^4 *2x-4ctg^2 * 2x+3=02)4cos^2(x-pi/6)-3=0

1) Выполним подмену ctg2x = у:

ctg2x - 4ctg2x + 3 = 0;

 у - 4у + 3 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 4) - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4;

D 0, означает:

у1 = ( - b - D) / 2a = (4 - 4) / 2 * 1 = ( 4 - 2) / 2 = 2 / 2  = 1;

у2 = ( - b + D) / 2a = (4 + 4) / 2 * 1 = ( 4 + 2) / 2 = 6 / 2  = 3;

1. Тогда, если у1 = 1, то:

ctg2x  =  1;

1) ctg2x =  - 1;

2х = arcctg( - 1) + n, n  Z;

2х = - arcctg(1) + n, n  Z;

2х = - /4+ n, n  Z;

х1 = 3 /8+ /2 * n, n  Z;

2) ctg2x  =  1;

2х = arcctg(1) + n, n  Z;

х2 =  /8+ /2 * n, n  Z;

если у2 = 3, то:

ctg2x  =  3;

1) ctg2x =  - 3;

2х = arcctg( - 3) + n, n  Z;

2х = - arcctg(3) + n, n  Z;

2х = - /6+ n, n  Z;

х3 = 5 /12+ 2 * n, n  Z;

2) ctg2x  =  3;

2х = arcctg(3) + n, n  Z;

х4 = /12+ /2 * n, n  Z;

Ответ: х1 = 3 /8+ /2 * n, n  Z, х2 =  /8+ /2 * n, n  Z, х3 = 5 /12+ 2 * n, n  Z, х4 = /12+ /2 * n, n  Z .

2) Применим формулу снижения ступени:

4cos(x - /6) - 3 = 0;

cos(x - /6) = (1 + cos2(x - /6))/2 = (1 + cos(2x - /3))/2;

Подставим приобретенные значения:

4 * (1 + cos(2x - /3))/2 - 3 = 0;

2 * (1 + cos(2x - /3)) - 3 = 0;

2 + 2cos(2x - /3) - 3 = 0;

2cos(2x - /3) - 1 = 0;

2cos(2x - /3) = 1;

cos(2x - /3) = 1/2;

Найдем значение аргумента:

2x - /3 = arccos(1/2) + 2n, n  Z;

2x - /3 = /3 + 2n, n  Z;

2x = /3 + /3 + 2n, n  Z;

1) 2x = - /3 + /3 + 2n, n  Z;

2x = 2n, n  Z;

x1 = n, n  Z;

2) 2x = /3 + /3 + 2n, n  Z;

2x = 2/3 + 2n, n  Z;

x2 = /3 + n, n  Z;

Ответ: x1 = n, n  Z, x2 = /3 + n, n  Z;