4cos^2 x/2+0,5sinx+3sin^2 x/2=O

Представим 4cos^2(x/2) виде суммы cos^2(x/2) + 3cos^2(x/2). Получим уравнение:

cos^2(x/2) + 3(cos^2(x/2) + sin^2(x/2)) + 1/2sin(x/2) = 0.

Привлекая главное тригонометрическое тождество, имеем:

cos^2(x/2) + 3 + 1/2sin(x) = 0;

1 - sin^2(x) + 3 + 1/2sin(x/2) = 0.

Подмена t = sin(x/2)^

2t^2 - sin(x) - 8 = 0.

t12 = (1 +-(1 -  4 * 2 * 8) / 2 * 2);

t1 = 5/4; t2 = - 3/4.

sin(x/2) = 5/4  не имеет корней.

sin(x) = -3/4;

x/2 = arcsin(-3/4) +- 2 * * n, где n натуральное число.

x = 2arcsin(-3/4) +- 4 * * n.