3^(3x+1)-109^(x+1)+9^(x+2)=0

Обратившись к свойствам степеней, преобразуем члены уравнения:

3^(3x + 1) = 3 * 3^(3x);

9^(x + 1) = 3^(2x + 2) = 9 * 3^(2x);

9^(x + 2) = 3^(2x + 4) = 3^4 * 3^(4x).

Сократив уравнение на 3, получим:

3^(3x) + 3 * 3^(2x) + 27 * 3(4x) = 0.

Производим подмену переменных t = 3^x:

t^3 + 3t^2 + 27t^4 = 0.

t^2 * (27t^2 + t + 3) = 0;

t^2 = 0; 27t^2 + t + 3 = 0 - не имеет реальных корней;

t12 = 0.

Производим оборотную подмену:

3^x = 0 - решений не имеет.

Ответ: x принадлежит пустопорожнему огромному количеству.