3ctg^2 (3pi/2+x/3)-2tg x/3=1

1. Воспользуемся формулами приведения:

3ctg (3/2 + x/3) - 2tg x/3 = 1;

а) ctg (3/2 + x/3);

- функция изменяется на обратную;

- угол (3/2 + x/3) находится в четвертой четверти, котангенс отрицательный;

ctg (3/2 + x/3) = - tg x/3;

Означает, ctg (3/2 + x/3) = ctg (3/2 + x/3) * ctg (3/2 + x/3) = (- tg x/3)(- tg x/3) = tg x/3;

2. Подставим полученный значения:

3tg x/3 - 2tg x/3 = 1;

3. Выполним подмену tg x/3 = у:

3y - 2y = 1;

3y - 2y - 1 = 0;

4. Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 2) - 4 * 3 *( - 1) = 4 + 12 = 16;

D 0, означает:

у1 = ( - b - D) / 2a = (2 - 16) / 2 * 3 = (2 - 4) / 6 = - 2 / 6  = - 1/3;

у2 = ( - b + D) / 2a = (2 + 16) / 2 * 3 = (2 + 4) / 6 = 6 / 6  = 1;

5. Тогда, если у2 = 1, то:

tgx/3 = 1;

х/3 = arctg(1) + n, n  Z;

x/3 = /4 + n, n  Z;

x1 = 3/4 + 3n, n  Z;

если у1 = - 1/3, то:

tgx/3 = - 1/3;

х/3 = arctg( - 1/3) + n, n  Z;

х/3 = - arctg(1/3) + n, n  Z;

х2 = -3 * arctg(1/3) + 3n, n  Z;

Ответ: x1 = 3/4 + 3n, n  Z, х2 = -3 * arctg(1/3) + 3n, n  Z.