S=a+1/a, найти чему равно a^4+1/a^4

Известно что S = a + 1/a. Найдем значение выражения: a^4 + 1/a^4.

Запишем наше выражение в виде суммы квадратов: (a^2)^2 + (1/a^2)^2.

Добавим и отнимем от него удвоенное творенье первого слагаемого на 2-ое, чтоб пользоваться формулой квадрата суммы. Получим:

(a^2)^2 + (1/a^2)^2 = (a^2)^2 + (1/a^2)^2 + 2 * (a^2) * (1/a^2) - 2 * (a^2) * (1/a^2).

В результате сокращения, получим запись:

(a^2)^2 + (1/a^2)^2 + 2 2 = [(a^2)^2 +2 + (1/a^2)^2] 2.

Выражение в квадратных скобках заменим на квадрат суммы:

[(a^2)^2 +2 + (1/a^2)^2] 2 = [(a^2 + 1/a^2)^2] 2.

Проделаем все деяния 2-ой раз с внутренней скобкой, получим:

[(a^2 + 1/a^2)^2] 2 = [(a + 1/a)^2 - 2]^2 2.

Теперь a + 1/a заменим на S, получим:

[(a + 1/a)^2 - 2] ^2 2 = [S^2 - 2]^2 2.

Ответ: Если S = a + 1/a, то a^4 + 1/a^4 = [S^2 - 2]^2 2.