Решите уравнение 4cosx+sinx=0

4 * cos x + sin x = 0; 

Упростим уравнение. 

(4 * cos x + sin x)^2 = 0;  

(4 * cos x)^2 + 2 * 4 * cos x * sin x + sin^2 x = 0; 

sin^2 x + 8 * cos x * sin x + 16 * cos^2 x = 0; 

tg^2 x + 8 * tg x + 16 = 0; 

(tg x + 4)^2 = 0; 

tg x + 4 = 0; 

tg x = -4; 

x = arctg (-4) + пи * n, n принадлежит Z. 

Ответ: x = arctg (-4) + пи * n, n принадлежит Z.