1-sin^6 22,5+cos^6 22,5

1. Дано тригонометрическое выражение 1 sin⁶22,5 + cos⁶22,5, которого обозначим через Т. Но, какое-либо требование в нём, отсутствует. Упростим выражение Т, по способности, и вычислим его значение.
2. Используя характеристики ступеней, перепишем данное выражение в виде: Т = 1 + (cos22,5) (sin22,5). Воспользуемся формулой сокращенного умножения a³ b³ = (a b) * (a² + a * b + b²) (разность кубов). Тогда, получим: Т = 1 + (cos22,5 sin22,5) * ((cos22,5) + sin22,5 * cos22,5 + (sin22,5)).
3. Применим последующие 4 формулы: cos(2 * ) = cos² sin² (косинус двойного угла), sin(2 * ) = 2 * sin * cos (синус двойного угла), 2 * cos² = 1 + cos(2 * ) и 2 * sin² = 1 cos(2 * ). Имеем: Т = 1 + cos(2 * 22,5) * ( * (1 + cos(2 * 22,5)) + * (sin(2 * 22,5)) + * (1 cos(2 * 22,5))) = 1 + cos45 * * ((1 + cos45) + sin45 + (1 cos45)).
4. Воспользуемся формулами сокращенного умножения (a + b)² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы) и (a b)² = a² 2 * a * b + b² (квадрат разности). Имеем: А = 1 + * cos45 * (1 + 2 * 1 * cos45 + cos45 sin45 + 1 2 * 1 * cos45 + cos45) = 1 + * cos45 * (2 + 2 * cos45 + sin45) = 1 + * cos45 * (2 + cos45 + cos45 + sin45) = 1 + * cos45 * (2 + cos45 + 1) = 1 + * cos45 * (3 + cos45).
5. Сообразно таблице основных значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, имеем: cos45 = (2) / 2. Как следует, Т = 1 + * ((2) / 2) * (3 + ((2) / 2)) = 1 + *  ((2) / 2) * (3 + 2/4) = 1 + *  ((2) / 2) * (7/2) = 1 + 7(2) / 16.

Ответ: 1 sin⁶22,5 + cos⁶22,5 = 1 + 7(2) / 16.