1. sin2x+cos^2x=1 2. cos5x+cos3x+cosx=0 3. sinx=cos3x 4.2sinx+5cosx=0

1) Задействуем формулу двойного довода для синуса и следствие из главного тригонометрического тождества, получаем уравнение:

2sin(x)cos(x) + 1 - sin^2(x) = 1;

2sin(x)cos(x) - sin^2(x) = 0;

sin(x) * (2cos(x) - sin(x)) = 0.

Корешки уравнения вида sin(x) = a определяет формула:
x = arcsin(a) +- 2 * * n, где n естественное число. 

x1 = arcsin(0) +- 2 * * n;

x1 = 0 +- 2 * * n.

2cos(x) - sin(x) = 0;

sin(x) = 2cos(x);

tg(x) = 2.

x2 = arctg(2) +- * n.

Ответ: x принадлежит 0 +- 2 * * n; arctg(2) +- * n.