12sinx + 5cosx +13=0

Разделим уравнение на (12^2 + 25^2) = 13:

12/13sin(x) + 5/13cos(x) + 1 = 0.

Несложно увидеть, что 12/13 = cos(a), 5/13 = sin(a), где a = arcsin(5/13). С учетом этого уравнение воспринимает последующую форму:

cos(a)sin(x) + sin(a)cos(x) + 1 = 0.

Задействовав формулу синуса суммы 2-ух доводов, получим:

sin(a + x) + 1 = 0;

sin(a + x) = -1.

Корешки уравнения вида sin(x) = a определяет формула:
x = arcsin(a) +- 2 * * n, где n естественное число.

a + x = arcsin(-1) +- 2 * * n;

x = -/2 - arcsin(5/13) +- 2 * * n.