Обоснуйте что при любом естественном n выражение:(5n+1)^2-(5n-1)^2 кратно 20

Для того, чтоб обосновать, что выражение (5n + 1)² - (5n - 1)² кратно 20 мы начнем с того, что применим в нему две формулы сокращенного умножения:

(n + m)² = n² + 2nm + m²;

(n - m)² = n² - 2nm + m².

А так же верховодило открытия скобок перед которой стоит минус.

Итак, откроем скобки и получим выражение:

(5n + 1)² - (5n - 1)² = 25n² + 10n + 1 - (25n² - 10n + 1) = 25n² + 10n + 1 - 25n² + 10n - 1;

Приведем сходственные в полученном выражении:

25n² + 10n + 1 - 25n² + 10n - 1 = 25n² - 25n² + 10n + 10n + 1 - 1 = 20n.

Выражение делится на 20.

Что и требовалось доказать.